Родился 28 сентября 1947 года в д. Чукчино.
По окончании школы трудился рабочим Усть-Цилемского нефтесклада Щельяюрской перевалочной нефтебазы. С 1966 по 1968 годы служил в рядах Советской Армии, после работал машинистом Усть-Цилемского нефтесклада.
Определившись с профессией, в 1969 году поступил в Сыктывкарское педагогическое училище №1 им. И. А. Куратова по специальности «физическая культура». В 1971-м учебное заведение окончил с квалификацией «учитель образовательных школ» и приступил к работе в детской спортивной школе тренером-преподавателем, в этой должности трудился с 1971 по 2014 годы. Затем шесть лет был ремонтировщиком плоскостных спортивных сооружений при Центре физкультуры, спорта и туризма. Стаж работы в спортивном учреждении 44 года, общий стаж 48 лет.
За период работы Бабиков Фёдор Арсентьевич зарекомендовал себя как грамотный специалист, целеустремленный, ответственный сотрудник, педагог, обладающий высоким уровнем профессиональной компетентности. В ходе трудовой деятельности Фёдор Арсентьевич неоднократно демонстрировал умения принимать правильные и быстрые решения, а также навыки организационной работы. Бабиков Ф.А. эффективно обеспечивал реализацию целей обучения и воспитания обучающихся на основе личностно-ориентированного подхода к ребёнку, использовал в работе разнообразные методы и приёмы обучения, применял современные педагогические технологии, что помогало добиваться высоких спортивных результатов. В ходе занятий с детьми и подростками Фёдор Арсентьевич помогал им воспитывать в себе чувство ответственности, силу характера, находить силы преодолевать жизненные трудности, уважать родителей, помогать товарищам. Входил в состав тренерско-педагогического совета учреждения, его мнение всегда было весомо и авторитетно.
Бабиков Ф.А. внес весомый вклад в развитие физической культуры и спорта Усть-Цилемского района и Республики Коми. Он воспитал 15 мастеров спорта России по лыжным гонкам, более 25 кандидатов в мастера спорта. Два воспитанника - братья Дуркины Евгений и Михаил являются мастерами спорта международного класса по лыжным гонкам.
Большое внимание Фёдор Арсентьевич уделял спортивному инвентарю. При слабой материальной базе и постоянном дефиците финансовых средств он самостоятельно занимался ремонтом имеющегося спортинвентаря, его руками восстановлено огромное количество пар лыж, лыжных палок, лыжероллеров. Большое значение придавал передаче тренерского опыта молодым коллегам.
Федор Арсентьевич пользуется заслуженным уважением коллег спортсменов и любителей различных видов спорта, ведет активный образ жизни, поддерживает себя в хорошей физической форме, являясь примером другим.
Звание «Почетный гражданин Усть-Цилемского района» присвоено 21 июня 2023 года за большой вклад в социально-экономическое развитие Усть-Цилемского района (решение Совета МР «Усть-Цилемский» от 21 июня 2023 г. № 06-20/182 «О присвоении звания «Почетный гражданин Усть-Цилемского района» в 2022 году»).